Generalisasi

Ini adalah salah satu metode mengerjakan soal-soal bertipikal problem solving yang umum dipakai dalam olimpiade. Generalisasi, maksudnya mengubah ke bentuk yang lebih umum. Metode ini mungkin terlihat paradoks, tetapi banyak masalah dapat disederhanakan dengan menggunakan cara ini. 

Contoh 1:

Hitunglah!

\displaystyle\frac{1^2}{2}+\frac{2^2}{4}+\frac{3^2}{8}+\cdots+\frac{n^2}{2^n}

Jawab:

Pandang S(x)=x+2^2x^2+3^2x^3+\cdots+n^2x^n=\sum_{k=1}^n{k^2x^k} dan soal tersebut merupakan solusi dari S(\frac{1}{2}). Alasan menggunakan variabel x ini adalah untuk menggunakan teknik berikut:

\displaystyle\sum_{k=1}^n{x^k}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x},\ \ x\ne1,

turunkan kedua sisi diperoleh

\begin{array}{rl}\displaystyle\sum_{k=1}^n{kx^{k-1}}&=\dfrac{(1-x)(-(n+1)x^n)+(1-x^{n+1}}{(1-x)^2}\\&\\&=\dfrac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}\end{array}

kalikan dengan x kemudian turunkan kembali, dan kalikan kembali dengan x diperoleh

\displaystyle S(x)=\sum_{k=1}^n{k^2x^k}=\frac{x(1+x)-x^{n+1}(nx-n-1)^2-x^{n+2}}{(1-x)^3}.

dengan demikian

\begin{array}{rl}S(\frac{1}{2})& =\displaystyle\sum_{k=1}^n{\frac{k^2}{2^k}}=6-\dfrac{1}{2^{n-2}}(\frac{1}{2}n-n-1)^2-\dfrac{1}{2^n-1}\\&\\&=6-\left (\dfrac{n^2+4n+6}{2^n}\right ).\end{array}

Contoh 2:

Hitunglah Determinan Berikut: (Determinan Vandermonde)

\text{det}\begin{bmatrix}1&a_1&a_1^2&\cdots& a_1^{n-1}\\1&a_2&a_2^2&\cdots&a_2^{n-1}\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\1&a_n& a_n^2& \cdots& a_n^{n-1}\end{bmatrix}

Jawab:

kita asumsikan bahwa a_i\ne a_j,i\ne j, selain itu, determinannya nol. Untuk lebih mudahnya kita ambil bentuk khusus n=3.

\text{det}\begin{bmatrix}1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{bmatrix}

pada determinan ini, kita ganti c dengan variabel x. Maka, determinan tersebut merupakan polinom P(x) berderajat 2. Selain itu, P(a)=0 dan P(b)=0, karena saat kita ganti c dengan b atau a, maka ada 2 baris yang identik. Dengan kata lain

P(x)=A(x-a)(x-b)

untuk konstanta A. Akan tetapi, A merupakan koefisien x^2, dan kembalikan ke determinan, koefisien tersebut adalah

\text{det}\begin{bmatrix}1&a\\1&b\end{bmatrix}

Sehingga A=b-c. Dan bentuk asli 3-3 determinan adalah

P(c)=(a-b)\left [(c-a)(c-b)\right ].

Bentuk umumnya, Misalkan D_n menyatakan determinan matriks di atas berordo n. Dengan mengganti a_n pada baris terbawah dengan x, diperoleh polinom P(x) dengan derajat n-1. Dengan menggunakan Teorema Faktor,

P_n(x)=A(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n),

di mana A konstanta yang sekaligus merupakan koefisien x^2. Dengan mengekspansi sepanjang baris terakhir matriks, akan didapat bahwa A=D_{n-1}, yang berarti

D_n=P_n(a_n)=D_{n-1}\left [(a_n-a_1)\cdots(a_n-a_{n-1})\right ].

Dengan melakukan pengulangan cara untuk D_{n-1}, diperoleh

\displaystyle D_n=\prod_{k=2}^n\left [\prod_{i=1}^{k-1}(a_k-a_i)\right ].

Contoh 3:

Diketahui bahwa \int_0^{\infty}(\sin{x})/xdx=\frac{1}{2}\pi, (dikenal dengan Integral sinus) hitunglah \int_0^{\infty}(\sin^2{x})/x^2dx.

Jawab:

Kita akan menghitung sebuah integral yang lebih umum

\displaystyle F(a)=\int_0^{\infty}{\frac{\sin^2{ax}}{x^2}}dx,\ \ a\ge0,

Dengan menggunakan teknik, “turunan parameter” (turunan dalam integral). Turunkan kedua sisi dalam parameter a. dan diperoleh

\begin{array}{rl}F'(a)&=\displaystyle\int_0^{\infty}{\frac{2\sin{ax}\cos{ax}\cdot x}{x^2}}dx\\&\\&= \displaystyle\int_0^{\infty}{\frac{\sin{2ax}}{x}}dx\end{array}

Sekarang, dengan y=2ax, didapat dy=2adx, dan

\displaystyle F'(a)=\int_0^{\infty}{\frac{\sin{y}}{y}}dy=\frac{1}{2}\pi,

Integralkan diperoleh

F(a)=\frac{1}{2}\pi a+C,\ C\text{ konstan}

Karena F(0)=0, maka C=0 sehingga F(a)=\frac{1}{2}\pi a, a\ge0. masukkan a=1 didapat \int_0^{\infty}(\sin^2{x})/x^2dx=\frac{\pi}{2}

Untuk mengetahui pembuktian integral sinus untuk x=\infty di atas dapat dilihat pada Menurunkan di bawah Integral (Thank’s untuk info yang sangat berguna)

About these ads

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s