Ketaksamaan AM-GM-HM dan QM

Mungkin ada yang pernah mendengar mengenai AM-GM-HM, bahkan QM. Tapi mungkin banyak yang masih bertanya-tanya apa itu?

AM adalah Arithmetic Mean, dalam bahasa Indonesia adalah Rataan Aritmetik (Rataan Hitung). GM adalah Geometric Mean yang artinya Rataan Geometrik (Rataan Ukur). HM adalah Harmonic Mean yang artinya Rataan Harmonik. dan yang terakhir QM adalah Quadratic Mean yang artinya adalah Rataan Kuadrat. Rataan-rataan ini (terutama AM-GM) paling populer diterapkan dalam pemecahan berbagai masalah pertidaksamaan.

Misalkan x_i >0 untuk i=1,2, ... ,n. maka \displaystyle AM = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} $latex GM = \sqrt[n]{x_1x_2…x_n}$ \displaystyle HM = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}} \displaystyle QM = \sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}{n}} dan selalu berlaku

QM \ge AM \ge GM \ge HM

Pertidaksamaan ini lakan menjadi suatu persamaan apabila x_1=x_2=...=x_n.

Langkah-langkah membuktikan pertidaksamaan di atas adalah dengan mengambil n=2 (untuk n yang lebih besar dapat digunakan induksi matematika)

misalkan x_1=a dan x_2=b dengan a>0, b>0.. Dengan menggunakan konsep dasar pertidaksamaan,

untuk QM-AM

\displaystyle\begin{array}{rllllllr}(a-b)^2&\ge 0\\a^2-2ab+b^2&\ge 0\\a^2+b^2&\geq 2ab\\(a^2+b^2)+a^2+b^2&\ge (a^2+b^2)+2ab&&&&&&\textup{kalikan 2}\\2a^2+2b^2&\ge (a+b)^2&&&&&&\textup{bagi dengan 4}\\\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2}& \ge\displaystyle\frac{(a+b)^2}{4}\\\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2}&\ge\displaystyle \left (\frac{a+b}{2}\right )^2\\\displaystyle \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}&\ge\displaystyle \frac{a+b}{2}\\QM&\ge AM&&&&&&(1)\end{array}

untuk AM-GM

\displaystyle \begin{array}{rllllllllllllllllllr}(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2&\geq 0\\(\sqrt{a})^2-2\sqrt{ab}+(\sqrt{b})^2&\geq 0\\(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2&\geq 2\sqrt{ab}\\\displaystyle \frac{(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2}{2}&\geq\sqrt{ab}\\\displaystyle \frac{a+b}{2}&\geq\sqrt{ab}\\AM&\ge GM&&&&&&&&&&&&&&&&&(2) \end{array}

Untuk GM-HM,

\displaystyle \begin{array}{rl}AM&\ge GM\\\displaystyle \frac{a+b}{2}&\geq\sqrt{ab}\\ \end{array}

kedua ruas dikalikan \displaystyle\frac{\sqrt{ab}}{a+b} dan diperoleh

\displaystyle \begin{array}{rllllllllllllllllllr}\displaystyle\frac{\sqrt{ab}}{2}&\displaystyle\ge \frac{ab}{a+b}\\\sqrt{ab}&\displaystyle\ge\frac{2ab}{a+b}\\\sqrt{ab}&\displaystyle\ge\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\\GM&\ge HM&&&&&&&&&&&&&&&&&(3) \end{array}

Dari ketiga bentuk di atas, dapat disimpulkan bahwa

QM\ge AM\ge GM\ge HM

Contoh Soal:

Contoh 1: Buktikan bahwa

\displaystyle\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \ge 2

temukan pula nilai minimalnya!

Jawab: dengan mengunakan AM-GM

\begin{array}{rcl}\displaystyle \frac{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}{2}&\geq&\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}\\\displaystyle \frac{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}{2}&\geq&\sqrt{1}\\\displaystyle \frac{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}{2}&\geq&1\\\frac{x}{y}+\frac{y}{x}&\geq&2\end{array}

dengan demikian, nilai minimum dari x+\frac{1}{x} adalah 2 saat x=y;x,y>0

Contoh 2: Untuk bilangan positif a,b,c,d, buktikan bahwa

\displaystyle \left (a+b+c+d\right )\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right ) \ge 16

Jawab: dengan menggunakan AM-HM

\displaystyle\frac{a+b+c+d}{4}\ge\frac{4}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}

dengan menggunakan perkalian silang, diperoleh

\displaystyle \left (a+b+c+d\right )\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right ) \ge 4\times 4 = 16

Contoh 3:Untuk a,b,c\geq 0, buktikan bahwa

(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc

Jawab:Kita gunakan tiga AM-GM sekaligus

\begin{array}{rl} (a+b)(b+c)(c+a)&\geq 8abc\\ \displaystyle\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}&\geq abc\\\displaystyle\frac{a+b}{2}\cdot\frac {b+c}{2}\cdot\frac{c+a}{2}& \geq abc\\ \displaystyle\frac{a+b}{2}\cdot\frac {b+c}{2}\cdot\frac{c+a}{2}& \geq \sqrt{ab}\cdot\sqrt{bc}\cdot\sqrt{ca}\\ \end{array}

pada baris terakhir, ruas kiri merupakan perkalian antara 3 rataan hitung (AM) dan ruas kanan merupakan perkalian antara 3 rataan ukur (GM) sehingga pembuktian sampai baris ini sudah sah.      

4 thoughts on “Ketaksamaan AM-GM-HM dan QM

  1. diketahui:segitiga siku-siku ABCDEF panjang segitiga siku-siku BC 8m CD 6m. pertanyaan : panjang AC,panjang Cf,panjang AE,luas segitiga ADF?

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s