Integral Tak Tentu

Pada tulisan sebelumnya, kita sudah mengetahui bahwa integral merupakan antiturunan. Jadi jika terdapat fungsi F(x) yang dapat dideferesialkan pada selang [a,b] sehingga \dfrac{d(F(x)}{dx}=f(x), maka antiturunan / integral dari f(x) adalah F(x)+C. Ditulis:

\displaystyle \int f(x) = F(x)+C

Pengertian tersebut dapat digunakan untuk membuktikan teorema-teorema berikut yang akan membantu dalam pengerjaan hitung integral.

Teorema 1: Jika n bilangan rasional dan n\ne1, maka

\displaystyle\int x^ndx=\frac{1}{(n+1)}x^{n+1}+C

Contoh:

  1. \displaystyle \int x^5dx = \frac{1}{6}x^6+C
  2. \displaystyle \int \sqrt{x}dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx = \frac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C

Teorema 2: Jika f fungsi yang terintegralkan dengan k suatu konstanta, maka

\displaystyle\int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx

Contoh:

  1. \displaystyle \int 2x^3 dx = 2\int x^3 dx = \frac{2}{4}x^4+C = \frac{1}{2}x^4+C
  2. \displaystyle \int 5 dx = 5\int dx = 5x+C

Teorema 3: Jika f dan g merupakan fungsi yang terintegralkan, maka

\displaystyle\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx

Contoh:

  1. \displaystyle \int x^3 -x + 1\,dx = \int x^3 dx - \int x\,dx + \int dx= \frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^2+xC
  2. \displaystyle \int 5x^2 + 6\;dx = 5\int x^2 dx + 6\int dx= \frac{5}{3}x^3+6x+C

Ketiga teorema di atas sangat membantu dalam menyelesaikan berbagai bentuk permasalahan integral dasar. Beberapa bentuk integral tak tentu lainnya dapat di lihat pada  Bentuk-bentuk Integral Tak Tentu

Beberapa bentuk integral yang lebih rumit dapat diselesaikan dengan:

  1. Integral Substitusi
  2. Integral Parsial

 

One thought on “Integral Tak Tentu

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s