Dua Ahli Logika (The Imposible Problem)

Saat asyik mencari-cari soal logika, tiba-tiba menemukan soal teka-teki logika yang cukup sulit dan cukup menantang. Berikut ini soalnya:

Problem:

Dua ahli logika yang sempurna, S dan P, diberitahu bahwa bilangan bulat x dan y telah dipilih sedemikian rupa sehingga 1 < x < y, dan x + y <100. S ini diberi nilai x + y dan P diberi nilai xy. Mereka kemudian memiliki percakapan berikut.

P: Saya tidak dapat menentukan kedua bilangan tersebut.

S: Saya tahu itu.

P: Kini saya dapat menentukan keduanya

S: Saya juga

Mengingat bahwa pernyataan di atas adalah benar, berapakah kedua bilangan tersebut? (Bantuan Komputer diperbolehkan.)

Pertama kali selesai membaca soal tersebut, rasa penasaran saya meningkat tajam, bagaimana bisa menentukan x dan y hanya dengan “sedikit” informasi di atas?

Akhirnya saya membaca Solusinya yang sungguh luar biasa (juga sangat membingungkan). Berikut ini solusinya:

Solusi:

Pertama-tama, sepele, xy tidak boleh prima. Juga, tidak boleh kuadrat dari prima, karena itu akan mengakibatkan x = y.

Kita sekarang menyimpulkan sebanyak mungkin dari setiap pernyataan ahli logika ‘. Kita hanya memiliki informasi publik: pernyataan masalah, pernyataan ahli logika ‘, dan pengetahuan bahwa ahli logika, yang sempurna, selalu akan membuat kesimpulan yang benar dan lengkap. Setiap ahli logika, di samping itu, satu potong informasi pribadi: penjumlahan atau perkalian.

P: Saya tidak dapat menentukan kedua bilangan tersebut.

Pernyataan P menyiratkan bahwa xy tidak dapat memiliki tepat dua faktor yang tepat yang berbeda yang jumlahnya kurang dari 100. Sebut saja hal itu sebagai sepasang faktor memenuhi syarat.

Sebagai contoh, xy tidak bisa menjadi hasil kali dari dua bilangan prima yang berbeda, kemudian P bisa menyimpulkan bilangan-bilangan itu. Demikian juga, xy tidak bisa menjadi pangkat tiga dari bilangan prima, seperti 3^3=27, karena dengan demikian 3 \times 9 akan menjadi faktorisasi yang unik, atau pangkat empat bilangan prima.

Kombinasi lain dikesampingkan oleh kenyataan bahwa jumlah dari dua faktor harus kurang dari 100. Sebagai contoh, xy tidak boleh 242 = 2 \times 11^2, karena 11 \times 22 adalah faktorisasi memenuhi syarat unik; 2\times 121 yang tidak memenuhi syarat. Demikian pula untuk xy = 318 = 2 \times 3 \times 53.

S: Saya tahu itu.

Jika S yakin bahwa P tidak bisa menyimpulkan bilangan-bilangan tersebut, maka tidak ada kemungkinan penjumlahan x + y dapat sedemikian rupa sehingga perkaliannya mereka memiliki tepat satu pasang faktor yang memenuhi syarat. Sebagai contoh, x + y tidak boleh 51, karena penjumlahan 17 dan 34 menghasilkan xy = 578, yang akan memungkinkan P untuk menyimpulkan bilangan yang dicari.

Kita dapat menghasilkan daftar nilai dari x + y yang tidak pernah jumlah tepatnya dua faktor yang memenuhi syarat. Daftar berikut ini dihasilkan oleh JavaScript, (nah alat bantunya sudah mulai diperankan nih hehe…) fungsi dapat diperiksa dengan melihat JavaScript: function genSum (teks biasa.)

Penjumlahan yang memenuhi syarat: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53.

(Kita dapat menggunakan Konjektur Goldbach, yang menyatakan bahwa setiap bahkan bulat lebih besar dari 2 dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua bilangan prima, untuk menyimpulkan bahwa daftar di atas hanya dapat berisi angka ganjil. Meskipun hanya konjekture, tetapi tetap terbukti, hal itu telah diverifikasi secara empiris untuk 10^18.)

P: Kini saya dapat menentukan keduanya

P sekarang tahu bahwa x + y adalah salah satu nilai yang tercantum di atas. Jika ini memungkinkan P untuk menyimpulkan x dan y, kemudian, dari faktorisasi memenuhi syarat dari xy, harus ada tepat satu yang jumlah dari faktor tersebut dalam daftar. Tabel di bawah ini, yang dihasilkan oleh JavaScript (lihat teks JavaScript: fungsi genProd), menunjukkan semua xy tersebut, bersama-sama dengan x yang sesuai, y, dan x + y. Tabel ini diurutkan berdasarkan jumlah dan kemudian perkalian.

Perhatikan bahwa perkalian mungkin tidak ada dalam tabel untuk salah satu dari dua alasan. Entah tidak ada faktorisasi memenuhi syarat yang muncul dalam daftar di atas jumlah yang memenuhi syarat (contoh: 12 = 2 × 6 dan 3 × 4; jumlah 8 dan 7), atau lebih dari satu faktorisasi seperti muncul (contoh: 30 = 2 × 15 dan 5 × 6; jumlah 17 dan 11).

S: Saya juga

Jika S dapat menyimpulkan angka dari tabel di bawah, harus ada jumlah yang muncul tepat satu kali dalam tabel. Memeriksa tabel, kita menemukan hanya satu jumlah : 17.

Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa angka-angka adalah x = 4 dan y = 13.

Perkalian dan Jumlah yang memenuhi syarat

Perkalian x y Jumlah
18 2 9 11
24 3 8 11
28 4 7 11
52 4 13 17
76 4 19 23
112 7 16 23
130 10 13 23
50 2 25 27
92 4 23 27
110 5 22 27
140 7 20 27
152 8 19 27
162 9 18 27
170 10 17 27
176 11 16 27
182 13 14 27
54 2 27 29
100 4 25 29
138 6 23 29
154 7 22 29
168 8 21 29
190 10 19 29
198 11 18 29
204 12 17 29
208 13 16 29
96 3 32 35
124 4 31 35
150 5 30 35
174 6 29 35
196 7 28 35
216 8 27 35
234 9 26 35
250 10 25 35
276 12 23 35
294 14 21 35
304 16 19 35
306 17 18 35
160 5 32 37
186 6 31 37
232 8 29 37
252 9 28 37
270 10 27 37
322 14 23 37
336 16 21 37
340 17 20 37
114 3 38 41
148 4 37 41
180 5 36 41
238 7 34 41
288 9 32 41
310 10 31 41
348 12 29 41
364 13 28 41
378 14 27 41
390 15 26 41
400 16 25 41
408 17 24 41
414 18 23 41
418 19 22 41
132 3 44 47
172 4 43 47
246 6 41 47
280 7 40 47
370 10 37 47
396 11 36 47
442 13 34 47
462 14 33 47
480 15 32 47
496 16 31 47
510 17 30 47
522 18 29 47
532 19 28 47
540 20 27 47
546 21 26 47
550 22 25 47
552 23 24 47

Sumber: Nick’s Puzzle No 3

 

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s