Mencari Luas Segiempat Talibusur menggunakan Rumus Brahmagupta

Sekitar abad ke tujuh Masehi, dalam Geometri Euclidean,  Brahmagupta, seorang matematikawan asal India menemukan Rumus untuk mencari luas segiempat talibusur yang telah diketahui panjang sisi-sisinya dan beberapa sudutnya.

segiempat talibusur

Rumus Umum:

Jika diketahui segiempat talibusur memiliki sisi-sisi a, b, c, dan d serta setengah keliling s, maka luas segiempat tali busur K dapat dinyatakan dengan

\displaystyle K^2 = (s-a)(s-b)(s-c)(s-d).

Bukti:

Salah satu metode sederhana untuk membuktikannya adalah dengan memanfaatkan trigonometri. Misalkan dalam segiempat talibusur abcd (Lihat ilustrasi berikut), Emerupakan titik sudut antara a dan b, F, merupakan titik sudut antara c dengan d, dan n merupakan diagonal yang menghubungkan kedua sudut yang lain.

segiempat talibusur 2

Karena E+F=180^{\circ}, diperoleh:

\cos F = -\cos E dan \sin F = \sin E

Dengan menggunakan Aturan Cosinus,

n^2=a^2+b^2 - 2ab\cos F=c^2+d^2-2cd\cos E

  yang mana dapat diperoleh:

\displaystyle a^2+b^2-c^2-d^2 =2(ab+cd)\cos E \qquad (1)

Perhatikan pula bahwa Luas segiempat talibusur:

\displaystyle K = \frac{1}{2}ab\sin E + \frac{1}{2}cd\sin F = \frac{1}{2}(ab+cd)\sin E,

dari sini kita juga memperoleh:

2(ab+cd) = 4K \qquad (2)

Dengan mengkuadratkan (1) dan (2) kemudian dijumlahkan, akan diperoleh

4(ab+cd)^2(\cos^2E+\sin^2E) = 4(ab+cd)^2 = (a^2+b^2-c^2-d^2)^2 + 16K^2

yang dapat disederhanakan menjadi

16K^2= 4(ab+cd)^2 - (a^2+b^2-c^2-d^2)^2

Tentunya kita sudah tahu bahwa A^2 - B^2 = (A-B)(A+B). dengan mengaplikasikan identitas ini berkali-kali akan diperoleh:

\begin{aligned}16K^2&=2ab+2cd)^2 - (a^2+b^2-c^2-d^2)^2\\&=\left [2ab+2cd - (a^2+b^2-c^2-d^2) \right ]\times \left [2ab + 2cd + (a^2+b^2-c^2-d^2)\right ]\\&=\left [c^2+2cd+d^2-a^2+2ab-b^2\right ]\times \left [a^2+2ab+b^2-c^2+2cd-d^2\right ]\\&=\left [(c+d)^2 - (a+b)^2\right ]\times \left [(a+b)^2 - (c+d)^2 \right ]\\&=\left [(c+d-a+b)(a+d+a-b)\right ]\times \left [(a+b-c+d)(a+b+c-d)\right ]\\&=(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)(2s-2d)\end{aligned}

Dimana 2s=a+b+c+d

Bagi dengan 16, kemudian ambil akar kuadrat dari masing-masing ruas diperoleh :

K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

Bentuk spesial rumus ini adalah saat d=0 yang mengakibatkan segiempat talibusur ini merupakan suatu segitiga yang memiliki sisi-sisi a, b, c, dan setengah keliling s, dengan luas:

A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

yang terkenal dengan nama Rumus Heron.

Rumus Brahmagupta sendiri dapat diperluas untuk segiempat yang bukan merupakan segiempat talibusur

K = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos\theta}

di mana \theta merupakan jumlah dua buah sudut yang berlawanan. Pada segiempat talibusur, karena jumlah kedua sudut yang berlawanan = 180^{\circ}, maka \cos\theta = \cos 90^{\circ}=0.

Referensi

1. J. L. Coolidge, “A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral”, American Mathematical Monthly, 46(1939) pp. 345-347.

2. H.S.M. Coxeter, Geometry Revisited,The Mathematical Association of America, 1967,New York

3. Wikipedia – ree encyclopedia : Brahmagupta’s Formula

4. MathWorld: Brahmagupta’s formula

7 thoughts on “Mencari Luas Segiempat Talibusur menggunakan Rumus Brahmagupta

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s