Mencari nilai trigonometri pada sudut istimewa 36 dan 72

Selama ini di kelas dikenal beberapa sudut istimewa untuk seperti pada tabel bagan berikut:

\large\begin{matrix}\textup{x} & 0^{\circ} & 30^{\circ} & 45^{\circ} & 60^{\circ} & 90^{\circ}\\\sin x & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} & 1 \\\cos x & 1 & \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2} & 0 \\\tan x & 0 & \frac{1}{3}\sqrt{3} & 1 & \sqrt{3} & -\end{matrix}

Nah kali ini penulis akan menunjukkan cara menemukan nilai eksak trigonometri untuk sudut-sudut 18^{\circ};36^{\circ};54^{\circ};72^{\circ} tau (penulis lebih suka menotasikan) dalam radian \pi/10; \:\pi/5 ; \:3\pi/10 ; \:2\pi/5. Bagaimana caranya? Perhatikan baik-baik

Misalkan x = \pi/5

Perhatikan bahwa:

2\sin x\cos x =\sin 2x - \sin0\qquad(1)

2\sin x cos 3x =\sin 4x - \sin 2x \qquad(2)

dengan menjumlahkan (1) dan (2) dengan mudah diperoleh:

2\sin x\left (\cos x + \cos3x\right )=\sin4x

akan tetapi \sin x = \sin4x (ingat sifat-sifat trigonometri untuk sin), sehingga dari persamaan tersebut dapat diperoleh :

\cos x + \cos3x = \dfrac{1}{2}\qquad(3)

dengan menggunakan sifat-sifat penjumlahan cosinus, didapat

\begin{array}{rcl}  \cos3x+\cos x&=&\cos\left (\frac{3x+x}{2}\right )\cos\left (\frac{3x-x}{2}\right )\\\dfrac{1}{2}&=&2\cos2x\cos x\\\dfrac{1}{2}&=&2(-\cos3x)\cos x  \end{array}

sehingga didapat:

\cos x\cos3x=-\dfrac{1}{4}\qquad(4)

dengan mengunakan substitusi \cos3x = -\dfrac{1}{4\cos x} pada persamaan (3) dapat dengan mudah diperoleh:

\cos x -\dfrac{1}{4\cos x} = \dfrac{1}{2} atau 4\cos^2 x - 2\cos x - 1 = 0\qquad(5)

Dengan menggunakan Rumus ABC, dapat diperoleh:

\displaystyle \cos x = \frac{1\pm\sqrt{5}}{4}

karena x < \dfrac{\pi}{2}, maka \displaystyle \cos x = \frac{1+\sqrt{5}}{4} atau \displaystyle \cos \left (\frac{\pi}{5}\right ) = \frac{1+\sqrt{5}}{4}

dengan cara yang sama pula diperoleh \displaystyle \cos 3x = \frac{1-\sqrt{5}}{4} atau \displaystyle \cos\left (\frac{3\pi}{5}\right ) = \frac{1-\sqrt{5}}{4} yang ekuivalen dengan \displaystyle \cos \left (\frac{2\pi}{5}\right ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}

Gimana? Mudah bukan? ini merupakan metode pertama yang dipakai penuis untuk membuktikan ini, sebenarnya masih ada banyak metode-metode lain beraneka ragam. Banyak jalan menuju Roma, banyak cara untuk mencari solusi (betul gak?? hehe)

untuk sudut-sudut yang lainnya:

\sin18^{\circ}=\cos72^{\circ}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}

\sin36^{\circ}=\cos54^{\circ}=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}

\sin54^{\circ}=\cos36^{\circ}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}

\sin72^{\circ}=\cos18^{\circ}=\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}

Itulah tadi beberapa bentuk khusus untuk sudut-sudut “istemewa tambahan”.Kita juga bisa menentukan nilai eksak trigonometri yang lain untuk sudut kelipatan 3.

4 thoughts on “Mencari nilai trigonometri pada sudut istimewa 36 dan 72

    • untuk sudut kelipatan 3 derajat, masih memungkinkan (itupun) angka-angkanya g enak utk dilihat.
      klo yg bukan kelipatan 3, lebih serem lagi hhe…

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s