Menentukan Jumlah Suku pertama pada Deret bilangan k^p

Bagaimanakah Rumus umum Dari \displaystyle \sum_{k=1}^n{k^p}???? Di pelajaran SMP dan SMA  kita sudah dikenalkan bagaimana cara kita menghitung jumlah n suku pertama dari deret \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k. Dengan cara yang sangat brilliant Gauss kecil mampu menjawab pertanyaan tersebut ketika ia masih berusia 10 tahun. Yah, rumus umum deret tersebut adalah :

\displaystyle 1+2+\cdots+n=\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}

Tidak hanya itu, kita juga dikenalkan untuk deret-deret berikut:

\displaystyle 1^2+2^2+\cdots+n^2=\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

\displaystyle 1^3+2^3+\cdots+n^3=\sum_{k=1}^{n}k^3=\left (\frac{n(n+1)}{2}\right )^2

\displaystyle 1^4+2^4+\cdots+n^4=\sum_{k=1}^{n}k^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}

Namun, bagaimana cara kita menentukan bentuk umum dari rumus tersebut? Sebelumnya perhatikan hal berikut ini!

Dalam kombinatorika, kita mengenal sekali dengan istilah Kombinasi. Di antara sifat kombinasi yang perlu diketahui adalah:

\displaystyle \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

\displaystyle \binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\cdots+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k-1}

Lalu apa kaitannya kombinasi dengan deret ini?

Mudah saja. Perhatikan bahwa:

\displaystyle \begin{array}{rcl}1+2+\cdots+n&=&\displaystyle\binom{1}{1}+\binom{2}{1}+\cdots+\binom{n}{1}\\&=&\displaystyle\binom{1}{0}+\binom{2}{1}+\cdots+\binom{n}{n-1}\\&=&\displaystyle\binom{n+1}{n-1}\\&=&\displaystyle\binom{n+1}{2}\\&=&\dfrac{n(n+1)}{2}\end{array}

Lalu,  untuk \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2?

Pertama-tama perhatikan bahwa terdapat bilangan bulat a dan b sehingga:

\displaystyle k^2=a\binom{k}{1}+b\binom{k}{2}

yang mana dengan cara aljabar sederhana (substitusi k=1 dan k=2 ) dengan memandang bahwa \binom{1}{2}=0) diperoleh a=1 dan b=2. Hal ini menunjukkan bahwa:

\begin{array}{rcl}1^2+2^2+\cdots+n^2&=&\displaystyle\left [\binom{1}{1}+2\binom{1}{2}\right ]+\left [\binom{2}{1}+2\binom{2}{2}\right ]+\cdots+\left [ \binom{n}{1}+2\binom{n}{2}\right ]\\&=&\displaystyle\left [\binom{1}{1}+\binom{2}{1}+\cdots+\binom{n}{1} \right ]+2\left [\binom{1}{2}+\binom{2}{2}+\cdots+\binom{n}{2}\right ]\\&=&\displaystyle\left [\binom{1}{0}+\binom{2}{1}+\cdots+\binom{n}{n-1} \right ]+2\left [0+\binom{2}{0}+\cdots+\binom{n}{n-2}\right ]\\&=&\displaystyle\binom{n+1}{n-1}+2\binom{n+2}{n-1}\\&=&\displaystyle\binom{n+1}{2}+2\binom{n+2}{3}\\&=&\dfrac{n(n+1)}{2}+2\dfrac{(n-1)n(n+1)}{6}\\&=&\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{array}

Begitu juga untuk \displaystyle k^3 =a\binom{k}{1}+b\binom{k}{2}+c\binom{k}{3} dan seterusnya. Secara umum bentuk dari \displaystyle k^p=a_1\binom{k}{1}+a_2+\binom{k}{2}+\cdots+a_p\binom{k}{p} dengan a_i\quad i=1,2,\cdots,p merupakan merupakan nilai dari a!S(p,a) di mana S(p,a) merupakan “Bilangan Stirling” jenis ke dua, yang dirumuskan dengan:

\displaystyle S(p,j) = \frac{1}{j!}\sum_{i=0}^{j}(-1)^{j-i}\binom{j}{i}i^p

Jika digambarkan dalam segitiga Stirling (seperti segitiga Pascal, paham maksudnya bukan?!) sebagai berikut:

1

1\qquad1

1\qquad3\qquad1

1\qquad7\qquad6\qquad1

1\qquad15\qquad25\qquad10\qquad1

1\qquad31\qquad90\qquad65\qquad15\qquad1

dst.

Misal, jika kita mencari \displaystyle\sum_{k=1}^n{k^4} akan didapat:

\displaystyle\sum_{k=1}^n{k^4}=1\cdot1!\binom{n+1}{2}+7\cdot2!\binom{n+1}{3}+6\cdot3!\binom{n+1}{4}+1\cdot4!\binom{n+1}{5}

Nah, sampai di sini dapat kita generate untuk bentuk umumnya yang jika dijabarkan akan diperoleh bentuk:

\begin{array}{rcl}\displaystyle\sum_{k=1}^n {k^p} &=& \displaystyle\sum_{j=1}^{p}j!S(p,j)\left [\sum_{i=1}^{n}\binom{k}{i}\right ]\\&=&\displaystyle\sum_{j=1}^{p}j!S(p,j)\left[\binom{n+1}{j+1} \right ]\\&=&\displaystyle\sum_{j=1}^p \left[j!\frac{1}{j!}\sum_{i=0}^{j}(-1)^{j-i}\binom{j}{i}i^p\right]\binom{n+1}{j+1}\\&=&\displaystyle\sum_{j=1}^p \sum_{i=0}^{j}(-1)^{j-i}\binom{j}{i}\binom{n+1}{j+1}i^p\end{array}

2 thoughts on “Menentukan Jumlah Suku pertama pada Deret bilangan k^p

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s