Bilangan Euler

Tentu kalian pernah mendengar yang namanya Euler bukan? Leonhard Euler, terkenal dengan berbagai temuannya di bidang matematika, terutama bilangan Euler. Apa itu bilangan Euler? mari kita simak versi Wikipedia berikut:

Konstanta matematika e adalah basis dari logaritma natural. Kadang-kadang disebut juga bilangan Euler sebagai penghargaan atas ahli matematika Swiss, Leonhard Euler, atau juga konstanta Napier sebagai penghargaan atas ahli matematika Skotlandia, John Napier yang merumuskan konsep logaritma untuk pertama kali. Bilangan ini adalah salah satu bilangan yang terpenting dalam matematika, sama pentingnya dengan 0, 1, i, dan π. Bilangan ini memiliki beberapa definisi yang ekivalen; sebagain ada dibawah.

Nilai bilangan ini, dipotong pada posisi ke-30 setelah tanda desimal (tanpa dibulatkan), adalah: e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352

Nah itulah tadi versi Wikipedia. e merupakan bilangan alam, bilangan natural, atau disebut juga sebagai bilangan euler. Mengapa kok disebut bilangan natural/bilangan alam? Karena bilangan tersebut banyak ditemukan dalam kancah ilmu pengetahuan modernn dengan sifat-sifatnya memiliki karakteristik tersendiri bila dibandingkan dengan bilangan-bilangan yang lainnya. Bilangan ini didefinisikan sebagai:

\displaystyle e=\lim_{h\to\infty}\left (1+\frac{1}{h}\right )^h

\displaystyle e=\lim_{x\to 0}\left (1+x\right )^{\frac{1}{x}}

Tidak hanya itu, e juga bisa dinyatakan dalam bentuk deret berikut:

e = \displaystyle 1+ 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!} + \cdots

mungkin saja anda heran, apa kaitan bentuk limit dengan deret tersebut bukan?    Lalu bagaimana bisa diperoleh nilai pendekatan e=2,718\cdots

Coba perhatikan bahwa:

\begin{array}{rl}\displaystyle\lim_{h\to\infty}\left ( 1+\frac{1}{h} \right )^h &=\displaystyle\lim_{h\to\infty}\left ( 1+\binom{h}{1}\frac{1}{h}+\binom{h}{2}\frac{1}{h^2}+\cdots+\binom{h}{n}\frac{1}{h^n}+\cdots \right ) \\ &= \displaystyle\lim_{h\to\infty}\left ( 1+\frac{h}{h}+\frac{h(h-1)}{2h^2}+\cdots+\frac{h(h-1)\cdots(h-n+1)}{n!h^n}+\cdots \right )\end{array}

dengan membagi masing-masing pecahan dengan pangkat tertinggi h maka akan didapat bentuk:

e = \displaystyle 1+ 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!} + \cdots

yang nilainya sekitar e=2,71828.....

Bilangan e sendiri merupakan bilangan transendental, sama halnya seperti \pi. Adapun 30 digit pertama di belakang tanda koma dari bilangan ini

e \approx 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352

3 thoughts on “Bilangan Euler

  1. Pingback: FAKTA UNIK DALAM BILANGAN MATEMATIKA | X-Math
  2. Pingback: Fakta Unik MATEMATIKA | Dreamy & Shiny World :)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s