Metode Jitu Mencari Beda suatu Barisan/Deret Aritmatika

Sesuai dengan judulnya, kali ini penulis ingin berbagi rumus praktis menari beda pada Barisan dan Deret Aritmtatika. Tapi sebelumnya masih ingat bukan mengenai barisan & deret aritmatika? Yang gak ingat, bisa baca reviewnya di sini dulu nih:

http://dumatika.com/barisan-dan-deret-aritmatika/ ; http://id.wikipedia.org/wiki/Deret_aritmetika ;

Suatu barisan bilangan U_1, U_2, \cdots , U_n disebut barisan aritmatika jika selisih dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih dua suku yang berurutan disebut dengan beda, atau dinotasikan dengan b. Sedangkan suku pertama U_1=a Bentuk umum barisan aritmatika adalah sebagai berikut:

 a, (a+b), (a+2b), \cdots , (a+(n-1)b) , (a+nb) , \cdots

Dengan rumus umum U_n = a+(n-1)b.

Dari rumus itu, kita sebenarnya bisa menciptakan rumus praktis untuk mencari beda. Sebelumnya perhatikan contoh berikut:

Soal:

Jika dketahui suatu dua buah suku barisa aritmatika, misalkan U_9 = 89 dan U_21 = 149, Berapakah suku ke-35?

Jawab:

\begin{array}{rcl}U_9 & = & a+(9-1)b\\89 & = & a + 8b\qquad\qquad\qquad (1)\end{array}

\begin{array}{rcl}U_{21} & = & a+(21-1)b\\149 & = & a + 12b\qquad\qquad\qquad (2)\end{array}

Dengan eliminasi tahap (1) dan (2) diperoleh

12b = 60 atau b=5

substitusi kembali ke U_9=a+8(5)=89 diperoleh a=49 dan diperoleh

U_{35} = 49 + 34(5) = 49 + 170 =219

Rumus Cepatnya:

Sebenarnya untuk mencari beda kita bisa menyederhanakan proses (1) dan (2) menjadi berikut:

b = \dfrac{U_{21} - U_9}{21 - 9} = \dfrac{149 - 89}{21 - 9} =\dfrac{60}{12} = 5

Bentuk Umumnya:

\displaystyle b = \frac{U_m - U_n}{m - n}

Nah, terlihat lebih ringkas bukan? Bagaimana bisa dapat seperti itu?? Berikut ini pembuktiannya:

Coba perhatikan bahwa U_m = a + (m-1)b dan U_n = a + (n-1)b untuk m, n bilangan bulat, maka:

\displaystyle \begin{array}{rcl}U_m - U_n & = & \left ( a+(m-1)b\right ) - \left (a+(n-1)b\right )\\U_m-U_n&=&(a+mb-b)-(a+nb-b)\\U_m-U_n&=&a+mb-b-a-nb+b\\U_m-U_n&=&mb-b\\U_m-U_n&=&(m-n)b\\\dfrac{U_m-U_n}{m-n}&=&b\end{array}

terbukti🙂

11 thoughts on “Metode Jitu Mencari Beda suatu Barisan/Deret Aritmatika

    • perhatikan bahwa setiap suku nilainya berkurang 5, berarti bedanya adalah -5
      (bisa diperoleh dari 7 – 12 = -5, atau 2-7 = -5, dst)
      suku pertamanya adalah 12

  1. Pingback: Cara Mencari Beda Dari Barisan/Deret Arit Matika | Jalaniajayuk
    • Iya itu tolong luruskan, kasihan mereka yg membacanya jadi bingung

      U21 = a + (21 – 1)b
      149 = a + 12b

      Bukanya seharusnya 149 = a + 20b?

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s